本书旨在为数独爱好者和学习者提供数独游戏的规则和适用性高的解题技巧与解题思路，以帮助读者了解数独游戏，享受解题乐趣。本书介绍了数独游戏的定义和规则，逐条说明求解数独问题的运算规则及其符号，并辅以应用实例。本书还依次归纳了数条普遍适用的运算规则和一定数量的数独题目，帮助读者较快适应数独规则、轻松实践上手。

马中骐，浙江杭州（临平）人，1940年3月生于上海市。曾就读于兰州大学，是中国科学院首届研究生，获001号博士学位证书。曾任中国科学院高能物理研究所四室研究员、博士生导师、高能物理研究所学术委员会委员和高能物理研究所学位委员会主任、高能物理学会会员。1991年被评为“做出突出贡献的中国博士学位获得者”。1992年10月起享受国务院政府特殊津贴。

长期以来一直从事理论物理研究，重点在群论方法及其物理应用方面进行科学研究和教学工作，已发表研究论文200余篇。曾在规范场理论、大统一理论、磁单极理论、量子散射理论和Levinson定理、量子群理论及其在物理中的应用、群论方法在量子理论中的应用等方向开展科研工作。重要的科研成果有量子N体系统转动自由度的分离、Levinson定理的证明与推广、量子群的研究等。诺贝尔奖获得者杨振宁教授曾评价马中骐的研究成果是能留得下来的工作。

马中骐博士曾先后三次获得中国科学院科技进步二等奖，获得中国科学院一九九六年度教学成果奖二等奖（群论教材），获得2004~2005年度王淦昌奖。

出版的图书包括《群论及其在物理中的应用》、《杨-巴克斯特方程和量子包络代数》、《物理学中的群论》、《群论习题精解》、Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras等。

第 1 章 数独及其运算规则 ··········································1

第 2 章 数独运算规则应用举例 ·····································20

2.1 数独题目 1 ··················································20

2.2 数独题目 2 ··················································23

2.3 数独题目 3 ··················································27

2.4 数独题目 4 ··················································30

2.5 数独题目 5 ··················································33

2.6 数独题目 6 ··················································37

2.7 数独题目 7 ··················································41

2.8 数独题目 8 ··················································45

2.9 数独题目 9 ··················································51

2.10 数独题目 10 ················································55

第 3 章 格圈、格链及其应用 ········································56

3.1 格圈和格链 ··················································56

3.2 广义格链 ·····················································73

3.3 排除法 ·······················································89

第 4 章 数独世界难题 ················································ 103

4.1 数独难题 1 ·················································· 105

4.2 数独难题 2 ·················································· 111

4.3 等价的数独题目 ············································ 116

附录一 移棋相间法 ··················································· 118

附录二 天平秤球 ······················································ 121

附录三 确定帽子颜色 ················································ 129

【前言】

数独是一种逻辑推理类数字填充游戏. 虽然这种游戏和数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler, 1707—1783 年)研究过的拉丁方(Latin square) 有一定关系. 但它最早作为一种游戏形式出现, 可以追溯到 20 世纪 70 年代. 当时在美国纽约的一本益智杂志 Math Puz-zles and Logic Problems 上出现了一种称为填数字 (number place) 的游戏. 1984 年一位日本学者把它传到日本, 用日文汉字取名为 “数独”(Su Doku). 1997 年中国香港高等法院的新西兰籍法官高乐德 (Wayne Gould) 在《泰晤士报》(The Times) 上发表了这种游戏, 该游戏很快便风靡英国, 并由此传遍全世界. 20 世纪 90 年代国内部分益智类书籍开始刊登数独. 南海出版社在 2005 年出版了《数独 1》和《数独 2》,数独由此在国内广泛传播.

国际上, 由世界智力谜题联合会组织的世界数独锦标赛 (World Sudoku Championship) 每年举行一次, 首届于 2006 年在意大利的卢卡 (Lucca) 举行, 第八届于 2013 年在北京举行. 北京市数独运动协会作为世界智力谜题联合会的分支, 也每年组织一次中国数独锦标赛.比赛包括标准数独和变形数独两类. 标准数独和变形数独虽然规则不同, 但解法类似. 本书只研究标准 (经典) 数独, 以下称数独.

因数字排列方式千变万化, 数独吸引了大量爱好者参与. 数独有助于老年人加强思维活动, 防止智力退化, 也有助于儿童和年轻人训练逻辑推理和观察分析的能力. 所有参加游戏的人都可以从游戏中获得成就感和愉悦感. 本书附录介绍了三个游戏, 既可以满足爱好者玩数字游戏的需要, 也可以训练爱好者的逻辑推理能力.

随着数独的推广, 人们总结了大量解题技巧, 总体而言都是根据已有数字, 按照数独的基本规定, 通过推理和分析, 在空格中填充相应的数字. 其中, 有的方法简单直观, 但适用范围有限? 有的方法有比较复杂的推理, 需要一定的记忆能力, 掌握起来有些困难.

本书试图把已有的各种繁杂的数独解题方法系统化, 通过理论物理学家的思维方式, 归纳成六条清晰易懂的运算规则, 帮助读者学会求解一般数独题目的方法. 然后引入格圈和格链的概念, 导出本书独创的数独运算技巧, 帮助读者求解较难的数独题目. 本书总结的这些方法都用适当的符号来标记, 从而可以把求解数独题目的过程像棋谱一样记录下来, 大大简化了解释的语言. 原则上说, 棋谱完全记录了下棋的过程, 但大部分读者在阅读棋谱时, 还是愿意在棋盘上移动棋子以便于理解下棋的过程. 记住九宫图的填数要比记住棋谱困难得多, 因此标记方法的数独符号还需要九宫图的配合, 才能帮助爱好者真正理解数独题目的求解过程.

国内发行的有关数独的图书, 多数是数独题集. 事实上, 在网络高度发展的今天, 各类难易程度不一的题目都可以轻易地从网上找到. 本书推荐三个网站供读者参考: ①https://sudoku.game/?②https://www.websudoku.com/?level=4? ③https://sudoku.com/evil/.

作为一本介绍数独的书, 本书先介绍什么是数独, 然后逐条说明求解数独题目的运算规则及其符号, 并辅以例题. 第一章归纳了六条运算规则. 第二章列举了 10 道普通的数独题目, 并介绍了运用这六条运算规则进行求解的详细过程. 作者相信, 大部分读者很容易掌握这六条运算规则, 并能将其用于求解常见的数独题目. 第三章引入格圈和格链的概念, 归纳了四条新的运算规则. 通过一些例题解释新运算规则的符号及其使用方法, 帮助爱好者学会独立地求解较难的数独题目. 本书的解法强调从数独题目的整体 (全图) 出发, 通过运算规则和技巧, 简化各空格的允许填数, 获得数独终盘 (答案), 这种方法称为整体解法.

英国《每日邮报》(The Daily Mail) 2012 年 6 月 30 日的一篇报道介绍了芬兰数学家因卡拉 (Arto Inkala) 花费 3 个月设计出的声称是迄今世界上 “难度最大的数独题”, 并把此题比作数独题的 “珠穆朗玛峰”. 此题只有一个答案. 因卡拉教授说只有思考能力最快、头脑最聪明的人才能破解这个游戏 (only the quickest and brightest minds would be able to solve it). 2007 年因卡拉教授还出版了一本专著 (AI Escargot ——The most difficult Sudoku puzzle) , 其中提出了另外一道也声称是世界上 “最难的数独题”.

针对类似芬兰数学家因卡拉教授设计的极少数数独难题, 本书第四章采用分题的方法求解, 并以因卡拉教授设计的两道 “数独世界难题” 为例, 详细介绍了分题求解的过程, 说明只要学习和掌握了本书提出的这套解法, 不需要专门的训练, 任何人都可以独立求解各类数独题目, 甚至包括难度相当大的题目. 作者无意引导读者去钻研数独难题, 只是想说明, 即使是人为设计的数独难题, 只要充满信心, 方法得当, 一般人也是可以求解的.

为了帮助读者理解和领会本书的数独运算规则, 作者制作了一套数独解法讲课视频, 全套共九集, 每集时长约半小时, 包括第一章一集、第二章两集、第三章四集和第四章两集. 扫描书后二维码即可观看视频.

近日, 作者从网上查知电子科技大学出版社 2013 年出版的《轻松速解数独——陈氏解法》一书, 作者陈金康先生在该书中介绍的解法在解因卡拉教授 2012 年设计的数独世界难题时需要经过多次复杂的猜测且篇幅较大. 本书所提出的数独解法则能够在一定程度上更加简单明了地表达数独世界难题的解题过程.

感谢泰康之家所提供的优越的工作环境, 以及与老年朋友的良好讨论机会. 感谢泰康之家居民潘爱兰老师和新加坡世界科学出版社 (World Scientific) 编辑潘素起女士提供的因卡拉教授设计的两道“数独世界难题”, 以及一直给予的支持和鼓励. 感谢泰康之家居民黄惟崎老师、吴先敏老师、宋建云老师在数独问题上的交流和讨论. 感谢妹妹马中芳老师提供的若干道数独题目和有益的讨论. 感谢妻子李现老师一直以来的全力支持和鼓励, 无微不至的关爱和对本书写作过程的认真讨论及研究.

数独为一种逻辑游戏，注重逻辑与推理。本书是数独研究者、爱好者和初学者由浅入深学习数独的数学普及读物。作为介绍数独的智力游戏的图书，相比较于市面上其他以题库为主的同类书籍，本书表现出较强的学术深度和研究价值，值得一读！

第1章 数独及其运算规则

所谓数独, 就是在九宫图中n个格子内预先填入确定的数, 称为提示数 (clue). 凡是填有确定数x的格子称为定格x, 简称定格. 凡是填数还没有确定的格子, 统称为空格.

一道合格 (proper) 的数独题目, 在给出n个提示数后, 通过各种运算规则的操作, 逐步减少数独全图中各空格的允许填数, 把空格逐步变成定格, 最后一定可以找到唯一一个数独终盘. 存在多于一个不相同数独终盘的数独题目是不合格的数独题目. 如果在九宫图同一单元中重复出现填数相同的定格, 或者一个空格的允许填数减少到零, 则说明这个数独题目出现矛盾, 这也是不合格的数独题目. 实践证明, 提示数n至少要有 17 个. 至今还没有发现一道提示数少于 17个的合格的数独题目. 本书不讨论如何找出合格的数独题目, 而专门讨论对于合格的数独题目, 如何找到数独终盘.

第4章 数独世界难题

对于难题非常大的题目, 如本节介绍的所谓数独世界难题, 则需要反复使用排除法. 此时只有把这些要排除的允许填数适当编号, 才能使计算有条理地进行. 这就是本章要介绍的分题法.

附录一 移棋相间法

杨振宁先生于 2019 年在《数学文化》上发表的文章《许宝騄和“移棋相间法”》介绍了 1940 年前后西南联大物理系和数学系的师生们喜欢玩的一个中国古代游戏, 即移棋相间法. 杨先生称其在《道德文章垂范人间: 纪念许宝騄先生百年诞辰》一书第 316 页上看到一篇俞润民的文章, 文章说许曾发现求解 “移棋相间法” 的 “合四为一之新律”, 杨先生猜想此新律就是自己在美国发现的 modulo4 方法. 于是重新研究此游戏, 得到全解, 并撰文发表.

看到杨先生的文章后, 作者曾和杨先生在网上讨论该游戏, 并对其稍作推广. 杨先生鼓励作者撰文发表. 作者认为在本书附录介绍这个游戏较为适宜.